新生的任务是写下他们在微积分课程中学到的知识。
有些学生写得更详细，但这可能会令人困惑。许多学生表示他们还没有完全理解这门课程，不知道如何利用它。考虑到这一点，我们来回答两个问题：
微积分有什么用？理解什么是微积分可以分为三个层次。
例如，第一层是概念性的，理解变化率、黎曼和、数列之类的东西可能并不难。然而，当涉及瞬时变化率、黎曼和极限定义的定积分以及无限序列时，可能会有点令人困惑。那是因为我们不知道是什么导致了混乱。你可能会说，我知道我为什么困惑，但这不是很清楚吗？好吧，让我解释一下你为什么困惑，你困惑在哪里。
你为什么困惑？混乱在哪里？这是因为我认为瞬时变化率只是变化率。黎曼和的极限不是和吗？无穷数列不也是数列吗？事实上，它们虽然表面上看起来相同，但实际上是不同的。最大的区别在于它们的处理方式不同。之前我们计算的是变化率，但黎曼和根据定义是一个和，序列只是在和中包含更多项（通常有一定的规则）。然而，当涉及到计算瞬时变化率、定积分和无限序列时，它主要依赖于推理而不是计算。
这把我们带到了第二个层次。我们该怎么做呢？
您可能已经知道瞬时变化率（微分）、定积分和无限级数都是由极限定义的。为了计算这些，我们需要计算极限值。当然，你也可以计算极限值，但这非常繁琐。并不是每个人都能使用寻找这些计算极限的方法，但需要找到更聪明的方法。这也是微积分课程的重要组成部分。简单地说，微分具有微分的性质，所以我们可以利用微分的性质，通过一些简单函数得到的导数来计算各种复杂函数的导数。定积分可以通过简单地找到被积函数的原始函数（微积分基本定理）来求解，避免计算黎曼和极限。 （我不认为不定积分有那么重要。我只是认为谈论不定积分是为了强调求原函数的重要性。）
因此，如何计算它并不重要，只要您使用该函数并轻松找到导数的原始函数即可。当然，有些函数无法找到原函数，但也可以使用简单的数值方法找到定积分的近似解。
事实上，我觉得微积分课程通常以对前两个级别的清晰解释结束。但我仍然觉得我错过了一个重要的环节。我觉得至少在普通微积分课程中，并没有过多强调这个链接，或者我所说的第三级应用链接。
我在这里谈论的应用程序并不像给出一些应用程序问题并将其转换为微分或积分问题并解决它那么简单。如果知识的应用只是简单的学几门课程，寻找具体的应用，举一些例子，这种能力可能还是欠缺的。
现在我们来讨论一下这个应用层面。
事实上，该理论本身就是出于应用问题而诞生的。例如切线的斜率、不规则区域的面积、复函数的分析等。当面对这些难题时，我们首先要问自己是否可以让它们变得更容易管理。因此，正割线的斜率、长方体的面积、多项式函数或三角函数都被用作解决这些困难对象的桥梁。对极限存在性的研究和计算已经成为我们感兴趣的事情。在解决这个领域的问题时，我们也可以用我们容易的问题来解决困难的问题。
因此，面对实际问题时，首先要考虑的不是有什么工具可用，而是问题本身是什么。解决的难点是什么？如何把问题变简单？或者说，我们是否掌握了微分和积分的思维方式？使用类似的思维方法来解决诸如物体的面积、曲线长度和体积等问题。 多元微积分理论和单变量微积分理论有什么共同点？
我还想补充一件事。众所周知，创建方程和求解方程是我们解决应用题的法宝之一。学习微积分后，你必须学习建立微分方程。过去，建立方程无非就是枚举量之间的关系，并通过这些关系求出未知量的数值解。方程还可以包括未知函数量的变化率与该量之间的关系，通过方程中的关系可以找到函数解。这极大地扩展了解决现实问题的范围。然而，微积分课程并没有详细介绍如何求解各种微分方程。 （但是，数学系通常会选修一些微分方程课程。）
我想我同时回答了这两个问题。总而言之，微积分用极端的思维来解决一系列问题。在学习微积分时，首先要了解哪些问题可以借助微积分来解决，这样才能有效地应用微积分来解决实际问题。您还应该能够根据实际问题枚举微分方程。解决方案需要长期的方法。
为了帮助你理解，我画了一个理解和学习微积分的三个层次的分步图。
理解三层图的微积分
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