微积分的现实应用

微积分在现实世界中有如此多的用途，以至于列出它的所有用途就像列出世界上需要使用螺丝刀的所有东西一样不切实际。

在简单的计算层面上，微积分的应用包括求曲线的长度、曲面和复杂形状的面积、物体的体积、它们的最大值和最小值以及它们的质心。

当与力学定律相结合时，微积分可以解释火箭在太空中的轨迹、可能发生地震的俯冲带中岩石的应力、地震发生时建筑物如何振动以及汽车如何移动。比如悬架如何上下弹跳。细菌感染如何传播、手术伤口需要多长时间才能愈合、强风中吊桥所受的力等等。

其中许多应用都源自牛顿定律的核心思想。也就是说，它们是用微分方程表达的自然模型。这些方程涉及未知函数的导数，需要微积分技能来求解。

就像螺丝刀一样，微积分只是工程师和科学家工具箱中的另一个重要工具。就其对现代世界的贡献而言，没有其他数学方法可以与微积分相媲美。

微分和积分的意义

微积分是微分和积分的总称。

我们在小学学到的计算形状的面积和体积实际上与积分的世界有关。重点不在于“陈耀京”突然出现在高中课本上。通过学习小学教育中的相关内容，你已经为进入积分的世界做好了充分的准备。

大多数人对差异化不是很熟悉。微分包括诸如“切向斜率”、“瞬时速度”和“加速度”之类的内容，但这些内容很难理解。这些东西我们的眼睛无法直接看到，也很难直观地把握。

从历史上看，积分的出现早于导数。

积分法的起源是“测量图形的大小”。在古代，计算图形的长度、面积和体积的方法通过口耳相传，经过代代智慧的强化，发展成为现代的积分方法。微积分的历史可以追溯到大约公元前1800年。到公元前200年阿基米德的时候，与今天的积分法非常相似的“穷举法”已经出现，用来解决求抛物线和直线围成的图形面积的问题。

积分有着非常悠久的历史。 12世纪，印度国王巴斯卡拉二世提出了一种方法，成为积分法的“前身”。 17世纪，牛顿试图从万有引力理论中结合微分法和积分法推导出天体运动定律。

也就是说，从积分的出现到微积分的诞生，至少间隔了1300年。之所以首先出现积分，是因为人类需要理解我们能看到的东西，比如计算物体的面积和体积。小学教育中的几何计算通常只关注矩形和圆形等规则形状。在实践中，这些知识通常很难直接应用。

对了，为什么要计算积分呢？积分的目的是测量长度、面积和体积。我很尴尬地说，我们手头用来轻松计算面积和体积的工具非常差。这是因为并非现实世界中存在的所有物质都具有我们在学校学到的规则形状。相反，我们可以说它们的规则形状是一个例外或理想情况。因此，测量现实生活中各种复杂图形尺寸的技术对于人类来说是非常有必要的。

在日本小学的家政课上，孩子们会学习如何制作乌冬面和土豆丁等简单的菜肴。学校之所以教授它，是因为它是烹饪的基本方法。其实我们自己做饭的时候，大多都是从店里买现成的乌冬面，很少会煮土豆丁。然而，一旦掌握了这些基本的烹饪方法，你就可以准备更复杂的菜肴。例如，你从烹饪乌冬面中学到的东西可以应用于面包、披萨和意大利面，你从土豆角中学到的东西可以扩展到土豆沙拉和油条。

如果把小学、初中学到的矩形和圆形知识比作乌冬面和土豆丁，微积分就相当于面包、土豆沙拉等实用菜肴。借助积分，人类可以计算各种形状的面积和体积。积分可以让您毫不费力地计算结果，无论结果多么奇怪。这确实是向前迈出的一大步。将自己的思维运用到现实中，自己推导出面积和体积，这就是积分的乐趣，也是学习积分的真正意义。

日本高中教材中，微积分的内容放在积分之前。也许是因为这样的课程设计，很多微积分不好的学生最终放弃了。擅长微积分的学生学习积分不太可能失败。微积分比积分更难形象化。积分章节介绍了圆的面积、球体、圆锥体、椭球体的面积和体积，易于想象和理解。相比之下，微积分就不那么容易理解了。微分之所以难以理解，是因为它们是比率。

如果积分是加法，微分就是除法。小学生首先学习加法、减法、乘法，最后是除法。之所以按照这个顺序学习操作，是因为操作变得更加困难。除法是比较难直观理解的。在除法世界中，“比例”很难理解，但却是“捕捉变化”时极其有用的“法宝”。

培养微积分思维方式

对于大多数学生来说，微积分可能是他们学过的最令人困惑和令人沮丧的课程。对于理工科专业的大学生来说，他们的专业课程大部分都包含微积分。它建立了对变量变化规律的理解，对解决实际问题具有重要作用。掌握微积分可以为您提供理解和解释许多学科的工具。微积分是高等数学的基础。如果没有扎实的微积分基础，多元微积分、向量分析等课程将很难学习。

微积分思维值得培养，可以提高你的逻辑思维能力。微积分侧重于理解整体的变化趋势，将一个变量的变化过程划分为无数个小段，考察每个小段的变化规律。这个想法非常有价值，而且它不仅仅适用于数学问题。事实上，在分析和解决很多复杂问题时，你可以运用这种细致而全面的思维。微积分课程通常包括概念介绍和公式推导。这就需要放弃现有的经验思维，只有通过严密的逻辑思维才能得出结论。从长远来看，可以锻炼你的逻辑思维能力。这也是数学学习最根本的价值。

掌握微积分还可以帮助你理解许多自然现象。例如，微积分使用微积分和积分来描述速度和位移、加速度和速度之间的关系。许多物理现象的本质就隐藏在这些数学关系的背后。学习微积分将帮助您建立准确理解这些现象的能力。

学习微积分学习微积分的方式和方法有很多种。图灵不仅有帮助你入门的科普书籍，还有很多可以结合大学考试的相关教材。

以上文章由图灵教育转载，【Meet】已获得转载许可。

推荐阅读：

简单微积分学校不会教你的简单入门技能普林斯顿读物入门课本48.5 购买追踪微积分的起源伟大的思维过程大众数学读物微积分入门教育书籍39.9 购买

版权声明：本文转载于网络，版权归作者所有。如有侵权，请联系本站编辑删除。