代数和几何之间的这种关系似乎如此自然，以至于人们认为直到现代才开始将两者联系起来可能有点令人惊讶。欧几里得几何可以追溯到大约2000 年前，当时还没有代数，而解析几何的历史还不到四个世纪。对数为《罗密欧与朱丽叶》，比波士顿市年轻。
与许多其他数学创新一样，这个学科出现于17 世纪。创新者是皮埃尔·费马（Pierre Fermat）和勒内·笛卡尔（Ren Descartes），他们都是法国人，两人都非常聪明，是数学发展的重要人物。费马在坐标几何方面的创新远不如他对数论的举世闻名的贡献重要，而费马论文发表的延迟意味着当他的结果发表时，他的想法已经不再新鲜了。解析几何的荣誉因此落到了它的第一任出版商勒内·笛卡尔的身上。
那一年是1637 年。笛卡尔完成了他的杰作《方法论》，一部科学革命的哲学指南。这本书附带了一个名为“《几何》”的附录，这是事后才想到的。笛卡尔是这样开始的。 “几何中的所有问题都可以很容易地用某种方式表达。例如，从某条直线的长度，知道它的结构就足够了……我将这些算术公式引入到几何中，这样做是没有犹豫的。”这样，原本空荡荡的、只包含理想几何图形的欧几里得平面，就被转化为一个测量其长度、标记其位置的数值，即充满“算术表达式”的笛卡尔平面。
不幸的是，大多数读者发现《几何》 难以理解。就连艾萨克·牛顿也承认，他一开始并不理解笛卡尔的方法。多年后，一位传记作者写道，牛顿持有笛卡尔的《几何》，并被告知这非常困难。我会读大约十几页，停下来，再读一遍，比上次读得更多，再停下来，回到绘图板，继续读，直到我完全理解为止。
如果连牛顿都觉得阅读很困难，想象一下他那些才华横溢的学生的情况吧。笛卡尔的特点是他希望警告读者如下。 “我不会讲更多细节，因为那会剥夺你自己学习的乐趣……这里没有人对普通几何了解很多。”我无法理解代数的困难。
笛卡尔向梅森介绍这本书时非常坦诚。他补充道：“为了清楚起见，我省略了很多东西，但这是故意这样做的，我并不想让它们变得更清晰。”任何想要写教科书的人都应该知道，这种我建议你不要研究数学的陈述。”一种有意避免明确解释的模糊哲学。
幸运的是，有人能够用更容易理解的术语重新表述这些想法。阿姆斯特丹的Frans van Schouten（1615-1660）重新编辑的版本《几何》，在笛卡尔原著12 年后出版，包含许多有用的注释，使该主题更容易被更广泛的受众理解。重要的是，艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在他们的微积分独立研究中都受到了舒顿版本的极大帮助。
他们研究的科目与现代版本不同。当时，数值轴并不总是彼此成直角绘制，人们经常将工作限制在平面的右上区域，因为他们不喜欢负数。即所谓的第一象限，其中x 和y 坐标都是正确的。组织一切需要时间。
牛顿本人对此做出了贡献，但他对该主题的影响常常被他的其他成就所掩盖。他的论文《三次曲线枚举》 写于1676 年，发表于1704 年（显然是在牛顿之后），现在被认为是“解析几何的真正诞生”。在这篇论文中，牛顿高精度地介绍、分析并绘制了72 个不同的三次方程。显然，他巨大的耐力盖过了他对解析几何的炽热热情。
由于笛卡尔和费马的创新以及牛顿随后的贡献，该领域的建立和标准化。今天，这一成就可以很容易地用清晰易懂的步骤来总结和写下来。但历史告诉我们，后来看似显而易见的事情在当时可能并不总是显而易见的。朱莉娅罗宾逊这样描述一个棘手的数学问题：
当我非常接近这个问题时，我被告知我目光短浅，无法自己找到答案。但没有其他人能看到它。海滩上有很多东西，但你看不到它们，直到有人把它们捡起来。然后我们都看了。
这段话完美地描述了17世纪几何与代数的融合。
从那时起，解析几何中出现了两个重要但相互矛盾的趋势。首先是让代数对几何有用。二是用几何来辅助代数。总而言之，这创建了一种数学共生关系，其中问题的每个方面都从其他相关方面受益。
笛卡尔在很大程度上是前一种倾向的捍卫者。他经常从几何问题开始，用代数方法来解决它。对他来说，更现代的符号代数思想可以解决欧几里得几何这一古老学科的问题。
另一个趋势更加费马图式，最终证明更为重要。它从代数公式开始，然后使用该公式在平面上生成几何图形。例如，上面使用y=x + 1 创建的几何图形，或者当牛顿完成并绘制他的72 个三次方程时。费马想到了一个方法。 “每当我们找到两个未知量的方程时，就存在一条简单的直线或曲线的轨迹。因此，数学家能够通过绘制点来生成新的曲线。”卡尔·博耶称这是“数学史上最重要的陈述之一”。
在解析几何出现之前，曲线的来源仅限于“自然”事件。数学家熟悉圆、椭圆和螺线，因为它们源于熟悉的几何问题。然而，图XY-2 中的方程是
我根本无法想象的形象。通过创建奇怪的方程，数学家在xy 平面上创造了前所未见的曲折。获得大量的曲线细节将提高你对曲线的理解。事实证明，这对于微积分的发现很重要。
以上转载自图灵新闻。摘自《数学那些事》，【数学协会】有权转载。
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