在行星绕太阳运动的椭圆轨道中，系统（行星-太阳）的总能量 E 守恒，且由动能 K 和引力势能 U 组成：
E=K+U=常数
其中：
动能： K=mv²/2（m 为行星质量，v瞬时速度）
势能： U=−GMm/r（M为太阳质量，r为行星到太阳的瞬时距离，G为万有引力常数）
总能量：对于椭圆轨道，
E=−GMm/(2a)（a为半长轴，负值表明系统是束缚态）。
动能与势能的瞬时关系
由能量守恒可得：
K=E−U
代入 E 和 U 的表达式：
能量转换规律：
近日点（rmin=a(1−e)，e 为离心率）：
r 最小 → |U|最大（势能最负） → K 最大（速度最快）。
远日点（rmax=a(1+e))：
r 最大 → |U|最小（势能负得最少） → K 最小（速度最慢）。
动能与势能的和恒为负值（E<0)，保证轨道闭合（椭圆）。
速度的活力公式（vis-viva equation）：由 K=mv²/2可得：
此式是计算椭圆轨道瞬时速度的核心公式。
平均值关系（位力定理）：位力定理是经典力学中的核心定理之一，描述了多粒子系统或有心力场中单粒子系统的动能与势能的时间平均值之间的关系。
3.1.前提条件
系统处于 稳定束缚态（运动有界，周期或准周期）。
势能 U(r)是坐标的 k 次齐次函数，即满足：
保守力场：F=−∇U。
3.2.定义位力函数G
定义标量函数（称为位力）：
其中 p 是动量，r 是位置矢量。
3.3.时间平均值
对稳定系统，物理量的时间平均定义为：
则:
3.4.利用势能的齐次性
3.5.代入时间平均值关系式
k=−1（万有引力）：
2⟨K⟩=−⟨U⟩
k=2（谐振子）：
2⟨K⟩=2⟨U⟩ ⟹ ⟨K⟩=⟨U⟩
因此对整个轨道周期取平均，满足：
⟨K⟩=−E,⟨U⟩=2E
即 平均动能 是总能量绝对值的一半，平均势能 是总能量的两倍。
4.位力作为距离r的幂函数及其对应的势能
4.1. 位力的幂函数形式
设力 F 是距离 r的幂函数，方向沿径向：
4.2. 势能U(r)的推导
保守力场中，势能与力的关系为：
4.3. 势能零点的选择
通常选择 力场消失处（如 r→∞）为势能零点 U=0。
但需根据 n的值分类讨论：
情况 1：n<−1（力在 r→∞ 时消失）
选择 r→∞时 U=0：
势能表达式：
正负性：
若为吸引力（k<0)：
U(r)<0（如万有引力 n=−2，U=−GMm/r)。
若为排斥力（k>0)：
U(r)>0（如库仑斥力）。
情况 2：n=−1（力在 r→∞ 时不消失）
力场 F=k/r 在 r→∞ 时不消失（F→0但缓慢），故 不能选 r→∞为零点。
通常选择 有限点 r=r0 为零点（如 U(r0)=0)：
正负性取决于 k 和 r/r0。
情况 3：n>−1（力在 r→∞ 时不消失或发散）
若 n≥0，力在 r→∞时发散（如弹性力 n=1）。
选择 有限点 r=r0 为零点：
正负性：
吸引力（k<0)：
U(r)<0（如线性恢复力 n=1，k=−κ，则
U=κ(r²−r0²)/2，通常选平衡点 r0=0，则
U=κr²/2>0，但本质是排斥力）。
势能正负的本质：
吸引力（k<0) 中，势能通常为负（零点在 ∞ 时），表示 束缚态。
排斥力（k>0) 中，势能通常为正（零点在 ∞ 时），表示 非束缚态。
势能的零点选择是任意的，但选择力场消失处为零点能简化表达式，并明确能量的相对大小。
势能零点选择：优先选力场消失处（如 r→∞)，但仅当 n<−1时可行；否则需选有限点 r0。
势能正负：n<−1 时，U(r) 的正负由 k决定
其他 n 时，势能正负依赖于零点位置，但通常设计为吸引力势能负、排斥力势能正。
物理意义：势能的正负反映了系统的束缚性质（负势能对应束缚态，如行星轨道；正势能对应散射态，如α粒子散射）。
示例计算设地球绕太阳的椭圆轨道（a=1.5×10^11 m，e=0.0167)：
总结
物理量 | 关系式 | 说明 |
总能量 E | E=−GMm/(2a) | 仅由半长轴 a决定 |
动能 K | K=E−U | 近日点最大， 远日点最小 |
势能 U | U=−GMm/r | 近日点最负， 远日点最小（负） |
瞬时速度 v | v²=GM(2/r−1/a) | 活力公式 |
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