不定积分的经典练习，如何求(secx)^3的原函数？

2024-10-09

其实不定积分的经典练习，如何求(secx)^3的原函数？的问题并不复杂，但是又很多的朋友都不太了解，因此呢，今天小编就来为大家分享不定积分的经典练习，如何求(secx)^3的原函数？的一些知识，希望可以帮助到大家，下面我们一起来看看这个问题的分析吧！

至少有三种方法可以找到正割立方的本原函数。最简单的方法当然是直接使用公式。正整数次方正割的不定积分有一个公式。

课本上提供的是递推公式，即把原来的不定积分以In的形式记录下来。 n 是正割的指数。 In 可以递归推导为I_(n-2)，即每次递归将指数减2。最后可以得到1 的不定积分或者secx 的不定积分，然后用1 的原函数就是x +C 或secx 的原函数为ln|secx+tanx|+C，即可得到(secx)^3 的原函数。

这个递归公式是：

In=tanx(secx)^(n-2)/(n-1)+(n-2)/(n-1)*I_(n-2)dx，n1。

这里n=3，所以我们得到：

解1：原积分=tanxsecx/2+1/2*I1=tanxsecx/2+1/2*ln|secx+tanx|+C。

这里还有一个问题，或者说有两个问题，是同一个问题的两种情况。首先，当n很大时，你很难通过逐步递归得到原始函数。例如，当n=13时，你可以尝试一下，看看它的递归工程有多大。即使当n=99999时，我相信解决它的难度也可以与“愚公移山”相媲美。

这时候我们需要一个公式的最终形式，而不仅仅是课本上提供的导数公式。别着急，老黄已经给你推导出这个公式了。公式需要根据n的奇偶性进行分类讨论，如下：

老黄顺便推导了余割的正整数次方的不定积分公式。因此，我们提供了第二种解决方案，即直接利用其最终的公式形式得到：

解二：原积分=(ln|secx+tanx|)/2+tanx/2*(i=1)((2-2i)(secx)^(3-2i)/(3-2i) +C。

不定积分的经典练习，如何求(secx)^3的原函数？