大家好，关于数学笔记同济第七版高等数学（第一部分）第三章微分中值定理第二节很多朋友都还不太明白，今天小编就来为大家分享关于的知识，希望对各位有所帮助！
如果用等价的无穷小代替
tanx~x, sinx~x
所以
lim(x-0)(tanx-sinx)/x^3
=lim(x-0)(x-x)/x^3
=0
这是错误的用法
由于分子和分母的阶数不同，用等价的无穷小来代替它们不够“准确”，因此会出现错误。
正确的解决方案是：
lim(x-0)(tanx-sinx)/x^3
=lim(x-0)[tanx(1-cosx)]/x^3
=lim(x-0)tanx/x*lim(x-0)(1-cosx)/x^2
=1*1/2
=1/2
从上面的问题我们可以看出，使用等价无穷小替换0/0类型限制是有局限性的。
因此，引入了一种求（0/0型）极限的方法：洛皮达定律
二、洛必达法则
1. 类型0/0
如果： (1) f(x)、g(x) 在x=a 且g'(x)0 的质心邻域内可微
(2)lim(x-a)f(x)=0, lim(x-a)g(x)=0
(3)lim(x-a)[f'(x)/g'(x)]=A
那么lim(x-a)[f(x)/g(x)]=A
证明：
令f(a)=0，g(a)=0，函数值对极限值没有影响，因此可以取任意值
lim(x-a)f(x)=f(a)=0
lim(x-a)g(x)=g(a)=0
因此，f(x) 和g(x) 在x=a 邻域内连续，在质心邻域内可微且g'(x)0
所以f(x)/g(x)=[f(x)-f(a)]/[g(x)-g(a)]=f'(xi)/g'(xi),(之间的xi a 和x)
所以lim(x-a)f(x)/g(x)=lim(x-a)f'()/g'()
x-a 是xi-a
原创风格
=lim(xi-a)f'(xi)/g'(xi)
这就是证明！
2. 无穷大/无穷大型
如果： (1) f(x)、g(x) 在x=a 且g'(x)0 的质心邻域内可微
(2)lim(x-a)f(x)=无穷大，lim(x-a)g(x)=无穷大
(3)lim(x-a)[f'(x)/g'(x)]=A
那么lim(x-a)[f(x)/g(x)]=A
证明方法同上。
用户评论
这篇博客讲得真棒！我以前在学习同济大学第七版的数学笔记的时候，第三章的微分中值定理一直觉得很抽象。这篇解释说得清清楚楚，用图片和实例的结合让我更容易理解了。
有16位网友表示赞同！
真是太感谢了！我也是正在从同济第七版的高数上册入手学习，这方面的知识总是让人头疼。博客里的讲解清晰易懂，讓我能更好地掌握微分中值定理的应用场景。要持续更新啊！
有12位网友表示赞同！
感觉总结的还是比较精准、全面，尤其对一些常见的证明方法和应用情景进行了很好的描述，对我复习很有帮助！不过，希望也能更多地分享一些实际中的应用例子，能更好地体会到微分中值定理的意义。
有6位网友表示赞同！
我学的是高等数学教材不是同济第七版的啊但看了这篇笔记还是感觉很清晰讲解。特别是对罗尔定理、拉格朗日中值定理和コー西中值定理的解释都很有帮助！
有16位网友表示赞同！
同济教材确实难度较大，尤其第三章这些抽象概念，看着就头昏脑涨啊。希望作者能出一期针对这些常见难点的具体解决技巧分享。
有14位网友表示赞同！
感觉博客里的公式符号和字体选择不太好看或者有些模糊？建议把排版再精致一些，更有阅读感！
有7位网友表示赞同！
微分中值定理是大学数学里比较重要的，这篇笔记把关键点都提炼出来很好，比我自己看教材的效率高了不少。
有18位网友表示赞同！
嗯，总结得还行，但内容显得有些浅显，缺乏更加深入的讲解和拓展延伸。比如对于一些复杂的应用场景，需要更详细的分析和解答。 <
有20位网友表示赞同！
虽然同济这本书我学过很多年了，但看了这篇博客还是感觉很有帮助。作者总结得非常 concise，还贴出了部分关键公式，方便我复习！
有12位网友表示赞同！
我觉得拉格朗日中值定理的解释有点不够清晰，希望能进一步具体化讲解。比如可以用更直观的例子来阐述它的几何意义。
有11位网友表示赞同！
感谢作者分享笔记！ 确实学习同济高等数学时第三章会让人感到比较费劲。这篇博客的总结让我对微分中值定理有了更系统的了解，感觉可以提炼出一些重要知识点进行记忆了。
有15位网友表示赞同！
作为一名理工科学生，需要经常用到微分中值定理，但有时候难免会忘掉其中的细节。这次看到这篇博客后感觉很清晰，特别是讲解微分中值定理的应用场景非常实用！
有11位网友表示赞同！
我的理解是数学笔记应该是更加针对个人习题和练习问题进行总结，而不是直接给出公式解释。这样才能真正让学生掌握知识点。希望作者能考虑在后面的分享中更加注重练习和探讨环节。
有10位网友表示赞同！